Question

已知平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面ABCD為菱形，∠BCD=∠C₁CD=60°，求：當

CC1

CD

為何值時，有A₁C⊥平面C₁BD．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：當

CC1

CD

為1時，能使A₁C⊥平面C₁BD，A₁C與C₁O相交于G，說明點G是正三角形C₁BD的中心，證明CG⊥平面C₁BD，即可證明A₁C⊥平面C₁BD．

解答： 解：當

CC1

CD

為1時，能使A₁C⊥平面C₁BD．
∵當

CC1

CD

為1時，
∴BC=CD=C₁C，
又∠BCD=∠C₁CB=∠C₁CD，
由此可推得BD=C₁B=C₁D．
∴三棱錐C-C₁BD是正三棱錐．（9分）
設A₁C與C₁O相交于G．
∵A₁C₁∥AC，且A₁C₁：OC=2：1，
∴C₁G：GO=2：1．
又C₁O是正三角形C₁BD的BD邊上的高和中線，
∴點G是正三角形C₁BD的中心，
∴CG⊥平面C₁BD，
即A₁C⊥平面C₁BD．

點評：本小題主要考查直線與直線、直線與平面的關系，邏輯推理能力，考查空間想象能力，是中檔題．