Question

設命題P：函數f（x）=（a＞0）在區間（1，2）上單調遞增；命題Q：不等式|x-1|-|x+2|＜4a對任意x∈R都成立．若“P或Q”是真命題，“P且Q”是假命題，則實數a的取值范圍是（ ）
A．＜a≤1
B．≤a＜1
C．0＜a≤或a＞1
D．0＜a＜或a≥1

Answer 1

【答案】分析：求出f（x）的導數，令導數大于等于0在（1，2）上恒成立，求出a的范圍，即命題p為真命題時a的范圍；通過絕對值的集合意義求出|x-1|-|x+2|的最小值，令最小值小于0，求出a的范圍，即命題q為真命題時a的范圍；有復合命題的真假判斷出p，q的真假情況，求出a的范圍．
解答：解：∵f（x）=x+，
∴f′（x）=，
∵f（x）在（1，2）上單調遞增，
∴f′（x）=≥0在（1，2）恒成立．
∴a≤1
即若p真則a≤1．
∵不等式|x-1|-|x+2|＜4a對任意x∈R都成立，
所以|x-1|-|x+2|的最大值小于4a即可．
所以3＜4a，
所以a＞，
即若q真則有a＞，
∵“P或Q”是真命題，“P且Q”是假命題，
∴p，q中有一個真一個假，
所以當p真q假有 即0＜a≤；
當p假q真有 即a＞1
故若“P或Q”是真命題，“P且Q”是假命題，則實數a的取值范圍：（0，]∪（1，+∞）．
故選C．
點評：在已知函數單調求參數范圍時，采用的方法是求出導函數，令導函數大于等于0（小于等于0）恒成立、解決復合函數的真假問題常轉化為構成其簡單命題的真假問題解．