Question

已知函數f（x）＝lnx－a²x²＋ax（aR）.
（l）當a＝1時，證明：函數f（x）只有一個零點；
（2）若函數f(x)在區間（1，十）上是減函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）

試題分析：本題主要考查導數的運算、利用導數研究函數的單調性及最值問題等數學知識，考查學生的轉化能力、分析問題解決問題的能力和計算能力，考查分類討論思想.第一問，將代入確定的解析式，先求函數的定義域，這是解題的前題，函數只有一個零點等價于圖像與x軸只有一個交點，對求導，利用，判斷函數的增減區間，判斷出當時，，從而證明出圖像與x軸只有一個交點；第二問，對中的參數a進行討論，當時，與題干矛盾，當時，得到的減區間為，由題干分析可知，是的子集，所以得到和1的大小關系，當時，同理得到與1的大小，從而綜合上述情況得到a的取值范圍.
試題解析：(1)當a＝1時，f(x)＝lnx－x²＋x，其定義域是(0，＋∞)，
又，
令f′(x)＝0，即，解得或x＝1.又x>0，∴x＝1.
當0＜x＜1時，f′(x)＞0；當x＞1時，f′(x)＜0.
∴函數f(x)在區間(0，1)上單調遞增，在區間(1，＋∞)上單調遞減．
∴當x＝1時，函數f(x)取得最大值，其值為f(1)＝ln1－1²＋1＝0.
當x≠1時，f(x)＜f(1)，即f(x)＜0.
∴函數f(x)只有一個零點.（7分）
(2)顯然函數f(x)＝lnx－a²x²＋ax的定義域為(0，＋∞)，
∴.
①當a＝0時，，∴f(x)在區間(1，＋∞)上為增函數，不合題意；
②當a>0時，f′(x)＜0，得，∴，即a≥1；
③當a<0時，f′(x)＜0，得，∴，a≤－2(1).
綜上，實數a的取值范圍是.（14分）