Question

【題目】如圖（a），在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=8，AD=CD=4，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D﹣ABC，如圖（b）所示．

（1）求證：BC⊥平面ACD；
（2）求幾何體D﹣ABC的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在圖中，可得AC=BC=4 ，從而AC2+BC2=AB2，

故AC⊥BC，又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，BC平面ABC，

∴BC⊥平面ACD

（2）解：由（1）可知，BC為三棱錐B﹣ACD的高，BC=4 ，S△ACD=8，

∴VB﹣ACD= S△ACDBC= ×8×4 = ，

由等體積性可知，幾何體D﹣ABC的體積為

【解析】（1）證明AC⊥BC，利用平面與平面垂直的性質(zhì)定理，證明BC⊥平面ACD．（2）由（1）可知，BC為三棱錐B﹣ACD的高，求出BC，S△ACD ， 即可求解VB﹣ACD ， 由等體積性可知，求解幾何體D﹣ABC的體積．