Question

【題目】若 ， ， 為同一平面內互不共線的三個單位向量，并滿足 + + = ，且向量 =x + +（x+ ） （x∈R，x≠0，n∈N+）．
（1）求 與 所成角的大小；
（2）記f（x）=| |，試求f（x）的單調區間及最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題設：| |=|| =| |=1，且 + =﹣ （ + ）2=（﹣ ）2，化簡得：

=﹣ cos＜ ， ＞=﹣ ，又＜ ， ＞∈[0，π]＜ ， ＞= ．

（2）解：由（1）易知： = = =﹣ ，

故由f（x）=| |= ，

將其展開整理得：f（x）= （x∈R，x≠0，n∈N+）．①x＞0時，對u（x）=x2+（ ）2﹣n，求導并整理得：u′（x）= ．

則由u′（x）＞0x＞ ，

且由u′（x）＜00＜x＜ ．即f（x）的增區間為（ ，+∞），減區間為（0， ）．

②x＜0時，因f（x）為偶函數，由圖象的對稱性知：f（x）的增區間為（﹣ ，0），減區間為（﹣∞，﹣ ）．

綜上：f（x）的增區間為 （﹣ ，0）與 （ ，+∞），f（x）的減區間為（﹣∞，﹣ ） 和 （0， ）．

再由均值不等式易求得：|x|= 時，f（x）min= ．

【解析】（1）首先利用函數的數量積求出向量的夾角．（2）首先把向量的模長轉化為求向量的數量級，進一步利用導數求出單調區間，最后確定最值．
【考點精析】掌握函數單調性的判斷方法和函數的最值及其幾何意義是解答本題的根本，需要知道單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值．