Question

【題目】（本題滿分14分）如圖，我市有一個(gè)健身公園，由一個(gè)直徑為2km的半圓和一個(gè)以為斜邊的等腰直角三角形構(gòu)成，其中為的中點(diǎn)．現(xiàn)準(zhǔn)備在公園里建設(shè)一條四邊形健康跑道，按實(shí)際需要，四邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)分別在線段上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在半圓上， ，且間的距離為1km．設(shè)四邊形的周長為km．

（1）若分別為的中點(diǎn)，求長；

（2）求周長的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題分析：（1）求長，就是求圓中弦長，關(guān)鍵求出圓心到弦所在直線距離：因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn)，所以圓心到直線CD距離為半徑的一半，即，又間的距離為1km，所以圓心到弦所在直線距離為，因此

（2）求四邊形的周長，就是要表示出四邊長度，如何取自變量是解決問題的關(guān)鍵，設(shè)角是一個(gè)較好的方法，如設(shè)，其中M為AB中點(diǎn)，則，，，再根據(jù)基本不等式其周長最值

試題解析：（1）解：連結(jié)并延長分別交于，連結(jié)，

∵分別為的中點(diǎn)，，∴，

為等腰直角三角形，為斜邊，，

．∵，∴． 3分

在中，，∴，

∴． 6分

（2）解法１ 設(shè)，．

在中，，∴，．

∵，∴，

∴， 8分

∴ 10分

，（當(dāng)或時(shí)取等號）

∴當(dāng)或時(shí)，周長的最大值為． 14分

解法２ 以為原點(diǎn)，為軸建立平面直角坐標(biāo)系．

設(shè)，，，，

∴，，． 8分

∴ 10分

，

（當(dāng)，或，時(shí)取等號）

∴當(dāng)，或，時(shí)，周長的最大值為． １４分