Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）過點（ ，﹣ ），且離心率為 ． （Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）是橢圓C上的亮點，且x1≠x2 ， 點P（1，0），證明：△PAB不可能為等邊三角形．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意，得 ，解得 ． ∴橢圓C的標準方程為 ；
（Ⅱ）證明：證明：A（x1 ， y1），則 ，且x1∈[﹣ ， ]，
|PA|= = = ，
B（x2 ， y2），同理可得|PB|= ，且x2∈[﹣ ， ]．
y= 在[﹣ ， ]上單調，
∴有x1=x2|PA|=|PB|，
∵x1≠x2 ， ∴|PA|≠|PB|，
∴△PAB不可能為等邊三角形
【解析】（Ⅰ）由題意列關于a，b，c的方程組，求解得到a，b的值，則橢圓方程可求；（Ⅱ）求出PA，PB，證明|PA|≠|PB|，即可證明：△PAB不可能為等邊三角形．