Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|xex|，g（x）=f2（x）+λf（x），若方程g（x）=﹣1有且僅有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】（﹣∞，﹣e﹣ ）
【解析】解：f（x）= ， 當(dāng)x≥0時(shí)，f′（x）=ex+xex=（1+x）ex＞0，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，
當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）=﹣ex﹣xex=（﹣1﹣x）ex ，
∴當(dāng)x＜﹣1時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函數(shù)，在（﹣1，0）上是減函數(shù)．
當(dāng)x=﹣1時(shí)，f（x）取得極大值f（﹣1）= ．
令f（x）=t，
又f（x）≥0，f（0）=0，
則當(dāng)t＜0時(shí)，方程f（x）=t無(wú)解；
當(dāng)t=0或t＞ 時(shí)，方程f（x）=t有一解；
當(dāng)t= 時(shí)，方程f（x）=t有兩解；
當(dāng)0 時(shí)，方程f（x）=t有三解．
∵g（x）=f2（x）+λf（x）=﹣1有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
∴關(guān)于t的方程t2+λt+1=0在（0， ）和（ ，+∞）上各有一解，
∴ ，解得：λ＜﹣e﹣ ．
所以答案是（﹣∞，﹣e﹣ ）．