Question

【題目】已知函數f（x）=|2x+1|+|2x﹣a|．
（1）若f（x）的最小值為2，求a的值；
（2）若f（x）≤|2x﹣4|的解集包含[﹣2，﹣1]，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）=|2x+1|+|2x﹣a|≥|2x+1﹣（2x﹣a）|=|a+1|，

且f（x）的最小值為2，

∴|a+1|=2，∴a=1 或a=﹣3

（2）解：f（x）≤|2x﹣4|的解集包含[﹣2，﹣1]，即x∈[﹣2，﹣1]時，f（x）≤|2x﹣4|恒成立，

即|2x+1|+|2x﹣a|≤|2x﹣4|恒成立，即﹣2x﹣1+|2x﹣a|≤4﹣2x恒成立，

即|2x﹣a|≤5恒成立，即﹣5+a≤2x≤5+a恒成立，即 ，∴﹣7≤a≤1

【解析】（1）利用絕對值三角不等式求得f（x）的最小值，再根據f（x）的最小值為2，求得a的值．（2）由題意可得，x∈[﹣2，﹣1]時，f（x）≤|2x﹣4|恒成立，即﹣5+a≤2x≤5+a恒成立，即 ，由此求得a的范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解絕對值不等式的解法(含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號)．