Question

若直線y=k（x-2）+1與曲線y=-

1-x2

有兩上不同的交點，則k的取值范圍是（　　）

• A．[1，

  4

  3

  ]
• B．[1，

  4

  3

  )
• C．(

  3

  4

  ，1]
• D．(0，

  4

  3

  )

Answer 1

分析：要求直線y=k（x-2）+1斜率的取值范圍，方法為：曲線y=-

1-x2

表示以（0，0）為圓心，1為半徑的半圓，在坐標系中畫出相應的圖形，直線y=k（x-2）+1與半圓有不同的交點，故抓住兩個關鍵點：當直線y=k（x-2）+1與半圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值；當直線y=k（x-2）+1過B點時，由A和B的坐標求出此時直線l的斜率，根據兩種情況求出的斜率得出k的取值范圍．

解答：解：∵直線y=k（x-2）+1是過A（2，1）的直線，
曲線y=-

1-x2

是圓心在原點，半徑為1，y≤0的半圓，
∴作出如圖圖形：
當直線y=k（x-2）+1與半圓相切，C為切點時，圓心到直線l的距離d=r，
即

|k×0-0-2k+1|

k2+1

=1，
解得：k=

4

3

；
當直線y=k（x-2）+1過B（1，0）點時，直線l的斜率k=

1-0

2-1

=1，
∵直線y=k（x-2）+1與曲線y=-

1-x2

有兩上不同的交點，
∴k的取值范圍是[1，

4

3

）．
故選B．

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有：恒過定點的直線方程，點到直線的距離公式，以及直線斜率的求法，利用了數形結合的思想，其中抓住兩個關鍵點是解本題的關鍵．