【題目】已知函數
(m、n為常數，e = 2.718 28…是自然對數的底數)，曲線y = f (x)在點(1，f (1))處的切線方程是
．
(Ⅰ)求m、n的值；
(Ⅱ)求f (x)的最大值；
(Ⅲ)設
(其中
為f (x)的導函數)，證明：對任意x > 0，都有
．
(注： 
)
【答案】(Ⅰ) n = 2，m = 2 (Ⅱ) 
(Ⅲ)見解析
【解析】試題分析：（1）由切線方程為
得到
，從中可以解出
．（2）函數
的導數
，觀察可以發現當
時， 
，所以
；當
時， 
，從而得到函數的單調性及其最值．（3）函數
是一個較為復雜的函數，我們可以把要求證的不等式轉化為求證
和
，后兩個不等式可以通過構建新函數來證明．
解析： （Ⅰ）由
，得
，由已知得
，解得
．又
．
（Ⅱ）解：由(Ⅰ)得： 
，
當
時， 
，所以
；當
時， 
，所以
，∴當
時， 
；當
時， 
， 
的單調遞增區間是
，單調遞減區間是
， 
時， 
．
(Ⅲ)證： 
．對任意
， 
等價于
，令 
，則 
，由 
得： 
，
∴當 
時， 
， 
單調遞增；
當
時， 
， 
單調遞減，
所以
的最大值為
，即 
．設
，則 
，∴當
時， 
單調遞增， 
，故當 
時， 
，即
， 
，∴對任意
，都有 
．
通城學典默寫能手系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
（
）在同一半周期內的圖象過點
， 
， 
，其中
為坐標原點， 
為函數
圖象的最高點， 
為函數
的圖象與
軸的正半軸的交點， 
為等腰直角三角形.
（1）求
的值；
（2）將
繞原點
按逆時針方向旋轉角
，得到
，若點
恰好落在曲線
（
）上（如圖所示），試判斷點
是否也落在曲線
（
）上，并說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若函數f（x）=Asin（x+φ）（A＞0， 
的部分圖象如圖所示．
（I）設x∈（0， 
）且f（α）=
，求sin 2a的值；
（II）若x∈[
]且g（x）=2λf（x）+cos（4x﹣
）的最大值為
，求實數λ的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-5 不等式選講
已知函數f(x)＝|x－1|－2|x＋1|的最大值為m.
(1)求m；
(2)若a，b，c∈(0，＋∞)，a2＋2b2＋c2＝2m，求ab＋bc的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】(2016·遼寧五校聯考)某車間加工零件的數量x與加工時間y的統計數據如表：
零件數x(個) | 10 | 20 | 30 |
加工時間y(分鐘) | 21 | 30 | 39 |
現已求得上表數據的線性回歸方程
＝
＋
中的
值為0.9，則據此回歸模型可以預測，加工100個零件所需要的加工時間約為( )
A. 84分鐘 B. 94分鐘
C. 102分鐘 D. 112分鐘
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，無窮數列
滿足
, 
（Ⅰ）若
，求
， 
， 
；
（Ⅱ）若
，且
， 
， 
成等比數列，求
的值；
（Ⅲ）是否存在
，使得
成等差數列？若存在，求出所有這樣的
；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
是邊長為
的菱形， 
， 
平面
， 
， 
是棱
上的一個點， 
， 
為
的中點.
（1）證明： 
平面
；
（2）求直線
與平面
所成角的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，三棱柱
中，側棱
平面
， 
為等腰直角三角形， 
，且
， 
分別是
的中點.
(1)若
是
的中點，求證： 
平面
；
(2)若
是線段
上的任意一點，求直線
與平面
所成角正弦的最大值.
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