Question

不等式組

y≤x y≥0 x≤4

表示的平面區域為A．
（Ⅰ）畫出平面區域A，并求面積；
（Ⅱ）點（x，y）在平面區域內，求z=2x+y的取值范圍；
（Ⅲ）一次函數y=

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2

x+b的圖象平分區域A的面積，求b．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據一元二次不等式組表示的平面區域的結論，可得平面區域M，最后可用三角形面積公式求出區域M的面積；
（Ⅱ）再利用幾何意義求最值，只需求出直線z=2x+y過點（4，4），點（0，0）時，z取得最值即可；
（Ⅲ）由于一次函數y=

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2

x+b的圖象平分區域A的面積，可對得到的b分類討論即可．

解答：解：（Ⅰ）不等式y≤x表示直線y=x及直線下方的平面區域；
不等式y≥0表示直線y=0及直線上方的平面區域；
不等式x≤4表示直線x=4及直線左側的平面區域．
∴這三個平面區域的公共部分，就是原不等式組所表示的平面區域．
由圖象可得：S=

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2

×4×4=8；
（Ⅱ）將目標函數變形為y=-2x+z，平移直線y=-2x+z，
當它經過（4，4）時截距z最大為12；
當它經過（0，0）時截距z最小為0．
∴z的取值范圍是[0，12]；
（Ⅲ）y=

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x+b的圖象經過區域A時，b∈[-2，2]，
當b∈[-2，0）時，S=

1

2

(b+2)(4+2b)=4，
∴b+2=2，b=0（舍）
當b∈[0，2]時，S=

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2

(4-2b)(4-2-b)=4，
∴-b+2=2，b=0（舍）
∴b=0

點評：本題考查的知識點是簡單線性規劃，其中畫出滿足條件的可行域是解答的關鍵．