Question

隨著私家車的逐漸增多，居民小區“停車難”問題日益突出．本市某居民小區為緩解“停車難”問題，擬建造地下停車庫，建筑設計師提供了該地下停車庫的入口和進入后的直角轉彎處的平面設計示意圖．

（1）按規定，地下停車庫坡道口上方要張貼限高標志，以便告知停車人車輛能否安全駛入，為標明限高，請你根據如圖①所示的數據計算限定高度CD的值（精確到0.1m）
（參考數據：sin20°=0.3420，cos20°=0.939，tan20°=0.3640）
（2）在車庫內有一條直角拐彎車道，車道的平面圖如②所示，設∠PAB=θ（rad），車道寬為3m，現有一輛轉動靈活的小汽車其水平截面圖為矩形，它的寬1.8m，長4.5m，問此車是否能順利通過此直角拐彎車道？

Answer 1

考點：在實際問題中建立三角函數模型

專題：三角函數的圖像與性質,解三角形

分析：（1）在Rt△ABE中，求出BE的值，再得出CE的值，計算出CD即可；
（2）根據圖形，結合三角函數的性質，表示出EF、DE與AB的長，計算AB的最小值即可判斷小汽車是否能通過直角彎道．

解答： 解：（1）在Rt△ABE中，
BE=AB•tan20°=10×0.3640=3.640，
∴CE=BE-BC=3.640-0.60=3.040，
∴CD=CE•cos20°=3.040×0.939=2.85m，
∴限定高度CD的值約為2.8m；
（2）延長CD與直角走廊的邊相交于E、F，
則EF=OE+OF=

3

cosθ

+

3

sinθ

，其中0＜θ＜

π

2

，
∴DE=

DA

tanθ

=

1.8

tanθ

，
CF=BC•tanθ=1.8tanθ；
又∵AB=DC=EF-（DE+CF），
∴f（θ）=

3

cosθ

+

3

sinθ

-1.8（tanθ+

1

tanθ

）
=

3(sinθ+cosθ)-1.8

sinθcosθ

，其中0＜θ＜

π

2

；
設sinθ+cosθ=t，
則t=

2

sin（θ+

π

4

），
∴1＜t≤

2

；
∵sinθcosθ=

t2-1

2

，
∴f（θ）=g（t）=

6t-3.6

t2-1

，
∴g′（t）=-

6t2-7.2t+6

(t2-1)2

=-

6(t-0.6)2+3.84

(t2-1)2

；
又∵1＜t≤

2

，
∴g′（t）＜0恒成立；
∴g（t）=

6t-3.6

t2-1

在t∈（1，

2

]上是減函數，
∴g（t）_min=g（

2

）=6

2

-3.6＞4.5；
∴小汽車能夠順利通過直角拐彎車道．

點評：本題考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，也考查了解三角形的應用問題，是綜合性題目．