Question

如圖，在四棱錐V-ABCD中底面ABCD是正方形，側面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD
（1）證明：AB⊥平面VAD；
（2）求面VAD與面VDB所成的二面角的余弦值．

Answer 1

證明：（1）平面VAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB?平面ABCD，
平面VAD∩平面ABCD=AD，∴AB⊥面VAD
（2）取VD中點E，連接AE，BE，∵△VAD是正三角形，∴AE⊥VD，AE=

3

2

AD
∵AB⊥面VAD，AE，VD?平面VAD
∴AB⊥VD，AB⊥AE∴AE⊥VD，AB⊥VD，AB∩AE=A，且AB，AE?平面ABE，D
VD⊥平面ABE，∵BE?平面ABE，∴BE⊥VD，
∴∠AEB即為所求的二面角的平面角．
在RT△ABE中，tan∠AEB=

AB

AE

=

2

3

3

，
cos∠AEB=

21

7