Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°AB=PA=2，PA⊥平面ABCD，E是PC的中點，F是AB的中點．
（1）求證：BE∥平面PDF；
（2）求證：平面PDF⊥平面PAB；
（3）求BE與平面PAC所成的角．

Answer 1

（1）證明：取PD的中點為M，連接ME，MF，
∵E是PC的中點，∴ME是△PCD的中位線．
∴ME∥CD，ME=

1

2

CD．
又∵F是AB的中點，且由于ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB=CD，∴ME∥FB，且ME=FB．
∴四邊形MEBF是平行四邊形，∴BE∥MF．
∵BE?平面PDF，MF?平面PDF，
∴BE∥平面PDF．
（2）證明：∵PA⊥平面ABCD，DF?平面ABCD，
∴DF⊥PA．連接BD，
∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△DAB為正三角形．
∵F是AB的中點，∴DF⊥AB．
∵PA∩AB=A，∴DF⊥平面PAB．
∵DF?平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAB．
（3）連結BD交AC于O，∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，∴BD⊥平面PAC．
∴OB⊥OE，即OE是BE在平面PAC上的射影．
∴∠BEO是BE與平面PAC所成的角．
∵O，E，分別是中點，∴OE=

1

2

AP=1，OD=

1

2

BD=

1

2

AB=1，
∴Rt△BOE為等腰直角三角形，∴∠BEO=45°，
即BE與平面PAC所成的角的大小為45°．