Question

【題目】已知是雙曲線的兩個焦點，圓與雙曲線位于軸上方的兩個交點分別為，若,則雙曲線的離心率為_______.

Answer 1

【答案】

【解析】

連接NF1，MF2，由雙曲線的定義，可得|NF1|＝2a+2c，|MF1|＝2c﹣2a，

在△MF1F2中，和△NF1F2中，表示出cos∠MF1F2， cos∠NF2F1由，可得∠MF1F2+∠NF2F1＝π，即有cos∠MF1F2+cos∠NF2F1＝0，化簡整理，由離心率公式計算即可得到所求值．

如圖：

連接NF1，MF2，

由雙曲線的定義，可得|MF2|﹣|MF1|＝2a，

|NF1|﹣|NF2|＝2a，

由|MF2|＝|NF2|＝2c，

可得|NF1|＝2a+2c，|MF1|＝2c﹣2a，

在等腰△MF1F2中，可得cos∠MF1F2，

在△NF1F2中，可得cos∠NF2F1，

由，可得∠MF1F2+∠NF2F1＝π，即有cos∠MF1F2+cos∠NF2F1＝0，

可得0，

化為2c2﹣3ac﹣a2＝0，

得2e2﹣3e﹣1＝0，解得e或e（舍去），

故答案為：．