Question

若圓過點且與直線相切，設圓心的軌跡為曲線，、為曲線上的兩點，點，且滿足.
（1）求曲線的方程；
（2）若，直線的斜率為，過、兩點的圓與拋物線在點處有共同的切線，求圓的方程；
（3）分別過、作曲線的切線，兩條切線交于點，若點恰好在直線上，求證：與均為定值.

Answer 1

（1）；（2）；（3）0.

本試題主要考查了直線與圓的位置關系，以及直線與拋物線的位置關系的綜合運用。
（1）依題意,點C到定點M的距離等于到定直線L的距離，所以點C的軌跡為拋物線，曲線E的方程為；   
（2）直線AB的方程是,即x-2y+12=0，
由聯立x-2y+12=0和，得點A、B、、的坐標是（6,9）或（-4,4），
當A（6,9）或B（-4,4），時，由得,，
所以拋物線在點A處切線的斜率為，
直線NA的方程為，即x+3y-33=0…………①
線段AB的中點坐標為(1,13/2)，中垂線方程為，…………②
由①、②解得，
于是，圓C的方程為
，
當B（6,9）或A（-4,4），時，拋物線在點A處切線的斜率為，此時切線與AB垂直，所求圓為以AB為直徑的圓，可求得圓為， 
（3）設，,Q(a,-1)，過點A的切線方程為，
即，同理可得，所以,，
又，所以直線的方程為，
亦即,所以t=1，
而,，所以