Question

已知a，b∈R，f（x）=x²-ax，g（x）=ax²+2bx+3，且a≠0．
（1）解關于x的不等式f（x）＞6a²；
（2）當x∈[1，3]時，不等式f（x）+4＞0恒成立，求a的取值范圍；
（3）對任意的x∈R，b∈[0，2]，不等式g（x）≥x+b恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究函數的極值

專題：分類討論,轉化思想,不等式的解法及應用

分析：（1）解含有參數的一元二次不等式，能因式分解的先因式分解，再對參數進行討論；
（2）將不等式恒等變形，轉化為雙勾函數，利用雙勾函數的單調性，求出最小值；
（3）將不等式恒等變形，轉化二次函數，利用二次函數的單調性，求出最大值，再利用雙勾函數的單調性，求出最大值．

解答： 解：（1）由f（x）＞6a²得：x²-ax-6a²?（x+2a）（x-3a）＞0，
當a＞0時，-2a＜3a，不等式的解集為（-∞，-2a）∪（3a，+∞）；
當a=0時，-2a=3a=0，不等式的解集為（-∞，0）∪（0，+∞）；
當a＜0時，3a＜-2a，不等式的解集為（-∞，3a）∪（-2a，+∞）；
（2）f（x）+4＞0?x²-ax+4＞0，在x∈[1，3]時恒成立，
∴a＜x+

4

x

，令h（x）=x+

4

x

，則h（x）在[1，2]上單調遞減，在[2，4]上單調遞增，
∴h（x）_min=h（2）=4，∴a＜4，即a的取值范圍為（-∞，0）∪（0，4）；
（3）g（x）≥x+b，?ax²+2bx+3≥x+b?ax²≥（1-2b）x+b-3
當x=0時，不等式成立，
當x≠0時，a≥

b-3

x2

+

1-b

x

，令t=

1

x

則t∈（-∞，0）∪（0，+∞），
令：h（t）=（b-3）t²+（1-b）t，要使a≥h（t）成立，即求h（t）的最大值，
∵b-3＜0，∴h（t）_max=

-(1-b)2

4(b-3)

=

1

4

•

(3-b)2+4(b-3)+4

3-b

=

1

4

•[(3-b)+

4

3-b

-4]，
令m=3-b，則m∈[1，3]，令k（m）=

1

4

•(m+

4

m

-4)，則k（m）在[1，2]上單調遞減，在[2，3]上單調遞增，
又∵k（1）=

1

4

，k（3）=

1

12

，∴k（m）_max=

1

4

，
∴a≥

1

4

，即a的取值范圍為（-∞，

1

4

]．

點評：本題考查了，含有參數的一元二次不等式的解法，要對參數進行討論，同時考查了不等式的恒成立問題，利用雙勾函數的單調性，解決求函數的最值．屬于中檔題．