Question

在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）若PA=PC且PD=PB，求證平面PAC⊥平面ABCD．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線(xiàn)與平面平行的判定

專(zhuān)題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取CD的中點(diǎn)E，連接ME，NE，利用三角形的中位線(xiàn)定理可得NE∥PD，進(jìn)而得到NE∥平面PAD．由M是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，E是CD的中點(diǎn)，利用平行四邊形的性質(zhì)可得四邊形AMED是平行四邊形，可得ME∥平面PAD．進(jìn)而得到平面MNE∥平面PAD，利用面面平行的性質(zhì)可得MN∥平面PAD；
（2）設(shè)AC，BD交于O，證明PO⊥AC，PO⊥BD，可得PO⊥面ABCD，從而可證明平面PAC⊥平面ABCD．

解答： 證明：（1）取CD的中點(diǎn)E，連接ME，NE由N是線(xiàn)段CP的中點(diǎn)，利用三角形的中位線(xiàn)定理可得NE∥PD，
∵NE?平面PAD，PD?平面PAD，
∴NE∥平面PAD．
由M是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，E是CD的中點(diǎn)，四邊形ABCD是平行四邊形，
∴四邊形AMED是平行四邊形，
∴ME∥AD，可得ME∥平面PAD．
又ME∩EN=E，∴平面MNE∥平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
（2）設(shè)AC，BD交于O．
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴O為AC，BD中點(diǎn)，
∵PA=PC，PD=PB，
∴PO⊥AC，PO⊥BD，
∵AC，BD交于O，
∴PO⊥面ABCD，
又PO?面PAC，∴面PAC⊥面ABCD．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握三角形中位線(xiàn)定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)定理、線(xiàn)面與面面平行、垂直的判定與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．