Question

給出下列命題：
（1）函數f（x）=2xln（x-2）-3只有一個零點；
（2）若

a

與

b

不共線，則

a

+

b

與

a

-

b

不共線；
（3）若非零平面向量

a

，

b

，

c

兩兩所成的夾角均相等，則夾角為120°；
（4）若數列{a_n}的前n項的和S_n=2ⁿ⁺¹-1，則數列{a_n}是等比數列；
（5）函數y=2^x的圖象經過一定的平移可以得到函數y=3•2^x-1的圖象．
其中，所有正確命題的序號為

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數的性質及應用,等差數列與等比數列,平面向量及應用,簡易邏輯

分析：（1）根據函數y=ln（x-2）和函數y=

3 2

x

的圖象有且只有一個交點，可得函數f（x）=2xln（x-2）-3只有一個零點；
（2）利用反證法，結合向量共線的充要條件，可判斷正誤；
（3）若非零平面向量

a

，

b

，

c

兩兩所成的夾角均相等，則夾角為120°或0°；
（4）若數列{a_n}的前n項的和S_n=2ⁿ⁺¹-1，可求出數列的前若干項，進而可判斷正誤；
（5）函數y=3•2^x-1=2x+log23-1，根據函數圖象的平移變換法則，可判斷正誤．

解答： 解：（1）函數f（x）=2xln（x-2）-3的零點個數即方程ln（x-2）=

3 2

x

的根的個數，即為函數y=ln（x-2）和函數y=

3 2

x

的圖象交點個數，兩個函數圖象有且只有一個交點，故（1）正確；
（2）假設

a

+

b

與

a

-

b

共線，則存在實數λ，使

a

+

b

=λ（

a

-

b

），
若λ=1，則

b

=

0

，此時

a

與

b

共線，
若λ≠1，則，此時

a

=

λ+1

λ-1

b

，此時

a

與

b

共線，
這與

a

與

b

不共線矛盾，故假設不成立，故（2）正確；
（3）若非零平面向量

a

，

b

，

c

兩兩所成的夾角均相等，則夾角為120°或0°，故（3）錯誤；
（4）若數列{a_n}的前n項的和S_n=2ⁿ⁺¹-1，a₁=3，a₂=4，a₃=8，則數列{a_n}不是等比數列，故（4）錯誤；
（5）函數y=2^x的圖象向左平移log₂3個單位，再向下平移一個單位，可以得到函數y=2x+log23-1=3•2^x-1的圖象，故（5）正確．
故答案為：（1）（2）（5）

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了函數的零點，向量的共線，向量的夾角，等比數列的判定，函數圖象的變換等知識點，難度中檔．