Question

【題目】如圖，D是直角△ABC斜邊BC上一點，AC= DC．
（Ⅰ）若∠DAC=30°，求角B的大小；
（Ⅱ）若BD=2DC，且AD= ，求DC的長．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）在△ABC中，根據正弦定理，有 = ． ∵AC= DC，∴sin∠ADC= = ．
又∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°＞60° ，
∴∠ADC=120°．
于是∠C=180°﹣120°﹣30°=30° ， ∴∠B=60°．
（Ⅱ）設DC=x，則BD=2x，BC=3x，AC= x．
于是sinB= = ，cosB= ，AB= x．
在△ABD中，由余弦定理，AD2=AB2+BD2﹣2ABBDcosB，
即 ，得x=1．故DC=1
【解析】（Ⅰ）利用正弦定理、外角性質、三角形內角和定理即可得出．（Ⅱ）設DC=x，則BD=2x，BC=3x，AC= x．于是sinB= = ，cosB= ，AB= x．再利用余弦定理即可得出．