Question

已知不等式ax²+x+c＞0的解集為{x|1＜x＜3}．
（Ⅰ）求a，c的值；
（Ⅱ）若“ax²+2x+4c＞0”是“x+m＞0”的充分不必要條件，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用一元二次不等式的解集與相應的一元二次方程的實數根的關系即可求出；
（II）“ax²+2x+4c＞0”是“x+m＞0”的充分不必要條件，將它們對應的不等式分別解出，可得集合{x|2＜x＜6}?}x|x＞-m}，從而建立關于m的不等關系，解關于m不等式即可得到實數m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）依題意得，1、3是方程ax²+x+c=0的兩根，且a＜0，----------------------（1分）
所以，

a＜0 1+3=- 1 a 1×3= c a

---------------------------------------------------------（4分）
解得，

a=- 1 4 c=- 3 4

；---------------------------------------------------------（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a=-

1

4

，c=-

3

4

，所以，ax²+2x+4c＞0即為-

1

4

x²+2x-3＞0，
解得，2＜x＜6，又x+m＞0 解得  x＞-m，-------------------------------------（8分）
∵“ax²+2x+4c＞0”是“x+m＞0”的充分不必要條件，
∴{x|2＜x＜6}?}x|x＞-m}，-----------------------------------（10分）
∴-m≤2，即  m≥-2，
∴m的取值范圍是[-2，+∞）．------------------------（12分）

點評：本題給出不等式的解集，叫我們判斷充分必要性，著重考查了一元二次不等式的解法和充要條件的判斷等知識，屬于基礎題．熟練掌握一元二次不等式的解集與相應的一元二次方程的實數根的關系和充要條件的定義是解題的關鍵．