Question

【題目】設離心率為 的橢圓E： + =1（a＞b＞0）的左、右焦點為F1 ， F2 ， 點P是E上一點，PF1⊥PF2 ， △PF1F2內切圓的半徑為 ﹣1．
（1）求E的方程；
（2）矩形ABCD的兩頂點C、D在直線y=x+2，A、B在橢圓E上，若矩形ABCD的周長為 ，求直線AB的方程．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵離心率為e= = ，則a= c，①

由PF1⊥PF2，則丨PF1丨2+丨PF2丨2=丨F1F2丨2=4c2，

由橢圓的定義可知；丨PF1丨+丨PF2丨=2a，則丨F1F2丨2=（丨PF1丨+丨PF2丨）2﹣2丨PF1丨丨PF2丨，

∴丨PF1丨丨PF2丨=2a2﹣2c2，

，△PF1F2的面積S，S= 丨PF1丨丨PF2丨= ×R×（丨PF1丨+丨PF2丨+丨F1F2丨），

則a﹣c= ﹣1．②

由①②解得：a= ，c=1，

b2=a2﹣c2=1，

∴橢圓E的方程為 ．

（2）

解：由題意設直線l的方程：y=x+m，A（x1，y1）、B（x2，y2），

則 ，整理得：3x2+4mx+2m2﹣2=0，

由△=16m2﹣4×3（2m2﹣2）=﹣2m2+3＞0，解得﹣ ＜m＜ ，

由韋達定理可知：x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

則丨AB丨= = = ，

直線AB，CD之間的距離d= = ，

由矩形ABCD的周長為 ，則2（丨AB丨+d）= ，

則2（ + ）= ，解得：m=1，

則直線AB的方程為y=x+1．

【解析】（1）由橢圓的離心率求得a= c，根據勾股定理及橢圓的定義，求得a﹣c= ﹣1．b2=a2﹣c2=1，即可求得橢圓的標準方程；（2）設直線l的方程，代入橢圓方程，由韋達定理及弦長公式求得丨AB丨，由兩平行之間的距離公式，由矩形的周長公式2（丨AB丨+d）= ，代入即可求得m的值，求得直線AB的方程．