Question

【題目】定義：圓心到直線的距離與圓的半徑之比為直線關于圓的距離比.

（1）設圓求過（2,0）的直線關于圓的距離比的直線方程；

（2）若圓與軸相切于點（0,3）且直線= 關于圓的距離比，求此圓的的方程；

（3）是否存在點，使過的任意兩條互相垂直的直線分別關于相應兩圓的距離比始終相等？若存在，求出相應的點點坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或 ；（3）存在.

【解析】試題分析：（1）設過的直線方程為，求得已知圓的圓心和半徑，由新定義，可得方程，求得，即可得到所求直線方程；（2）設圓的方程為，由題意可得，解方程可得， ， ，進而得到所求圓的方程；（3）假設存在點，設過的兩直線為和，求得兩圓的圓心和半徑，由新定義可得方程，化簡整理可得或，再由恒成立思想可得， 的方程，解方程可得的坐標．

試題解析：（1）設過的直線方程為
∵圓的圓心為，半徑為
∴根據題意可得
∴，即所求直線為;
（2）設圓的方程為
根據題意可得
∴解方程可得或，則有圓的方程為或
（3）假設存在點，設過的兩直線為和

又∵的圓心為，半徑為， 的圓心為，半徑為
∴根據題意可得，即或
∴或,
∴或，則存在這樣的點和，使得使過的任意兩條互相垂直的直線分別關于相應兩圓的距離比始終相等.