Question

如圖，拋物線與雙曲線有公共焦點，點是曲線在第一象限的交點，且.

（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）以為圓心的圓與雙曲線的一條漸近線相切，
圓：．已知點，過點作互相垂
直且分別與圓、圓相交的直線和，設被圓截
得的弦長為，被圓截得的弦長為．是否為定值？
請說明理由．

Answer 1

,

解：（Ⅰ）∵拋物線的焦點為，   ………………………………… 1分
∴雙曲線的焦點為、，          …………………………………2分
設在拋物線上，且，
由拋物線的定義得，，∴，      ………………………………………3分
∴，∴，           ……………………………………………… 4分
∴，      ……………………………………………… 5分
又∵點在雙曲線上，
由雙曲線定義得，，∴，  ………………………………………… 6分
∴雙曲線的方程為：．         …………………………………………… 7分
（Ⅱ）為定值.下面給出說明.            …………………………………………… 8分
設圓的方程為：，雙曲線的漸近線方程為：，
∵圓與漸近線相切，∴圓的半徑為，………9分
故圓：，                           ………………………… 10分
設的方程為，即，
設的方程為，即，
∴點到直線的距離為，點到直線的距離為，……………… 11分
∴直線被圓截得的弦長，………………12分
直線被圓截得的弦長，…………………13分
∴，故為定值． …………………… 14分