Question

（本小題滿分13分）設橢圓的上頂點為，橢圓上兩點在軸上的射影分別為左焦點和右焦點，直線的斜率為，過點且與垂直的直線與軸交于點，的外接圓為圓．
（1）求橢圓的離心率；
（2）直線與圓相交于兩點，且，求橢圓方程；
（3）設點在橢圓C內部，若橢圓C上的點到點N的最遠距離不大于，求橢圓C的短軸長的取值范圍．

Answer 1

（1）  
（2）
（3）2

（1）由條件可知，
因為，所以得：                         …………4分
（2）由（1）可知，，所以，，
從而
半徑為a，因為，所以，
可得：M到直線距離為
從而，求出，所以橢圓方程為：；       …………8分
（3）因為點N在橢圓內部，所以b>3                       …………9分
設橢圓上任意一點為，則
由條件可以整理得：對任意恒成立，
所以有：
或者
解之得： 2                       …………13分