Question

【題目】（本題滿分15分）如圖，已知四棱錐P–ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E為PD的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：CE∥平面PAB；

（Ⅱ）求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，直線與平面學(xué)科&網(wǎng)所成的角等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力。滿分15分。

（Ⅰ）如圖，設(shè)PA中點(diǎn)為F，連結(jié)EF，FB.

因?yàn)?/span>E，F分別為PD，PA中點(diǎn)，所以EF∥AD且，

又因?yàn)?/span>BC∥AD，，所以

EF∥BC且EF=BC，

即四邊形BCEF為平行四邊形，所以CE∥BF，

因此CE∥平面PAB.

（Ⅱ）分別取BC，AD的中點(diǎn)為M，N.連結(jié)PN交EF于點(diǎn)Q，連結(jié)MQ.

因?yàn)?/span>E，F，N分別是PD，PA，AD的中點(diǎn)，所以Q為EF中點(diǎn)，

在平行四邊形BCEF中，MQ∥CE.

由△PAD為等腰直角三角形得

PN⊥AD.

由DC⊥AD，N是AD的中點(diǎn)得

BN⊥AD.

所以 AD⊥平面PBN，

由BC∥AD得 BC⊥平面PBN，

那么，平面PBC⊥平面PBN.

過點(diǎn)Q作PB的垂線，垂足為H，連結(jié)MH.

MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直線CE與平面PBC所成的角.

設(shè)CD=1.

在△PCD中，由PC=2，CD=1，PD=得CE=，

在△PBN中，由PN=BN=1，PB=得QH=，

在Rt△MQH中，QH=，MQ=，

所以sin∠QMH=，

所以，直線CE與平面PBC所成角的正弦值是.