Question

【題目】函數f（x）=x2+ax+3．
（1）當x∈R時，f（x）≥a恒成立，求a的取值范圍．
（2）當x∈[﹣2，2]時，f（x）≥a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵x∈R時，有x2+ax+3﹣a≥0恒成立，

須△=a2﹣4（3﹣a）≤0，即a2+4a﹣12≤0，所以﹣6≤a≤2

（2）解：當x∈[﹣2，2]時，設g（x）=x2+ax+3﹣a≥0，

分如下三種情況討論（如圖所示）：

①如圖（1），當g（x）的圖象恒在x軸上方時，滿足條件時，有△=a2﹣4（3﹣a）≤0，即﹣6≤a≤2．

②如圖（2），g（x）的圖象與x軸有交點，

當﹣ ≤﹣2時，g（x）≥0，即 即 解之得a∈Φ．

③如圖（3），g（x）的圖象與x軸有交點，

﹣ ≥﹣2時，g（x）≥0，即 即 ﹣7≤a≤﹣6

綜合①②③得a∈[﹣7，2]．

【解析】（1）對一切實數x恒成立，轉化為二次函數恒為非負，利用根的判別式小于等于0即可．（2）對于[﹣2，2]區間內的任意x恒成立，同樣考慮二次函數的最值問題，按區間與對稱軸的關系分三種情況討，最后結合圖象即可解決問題．
【考點精析】本題主要考查了解一元二次不等式的相關知識點，需要掌握求一元二次不等式解集的步驟：一化：化二次項前的系數為正數;二判：判斷對應方程的根;三求：求對應方程的根;四畫：畫出對應函數的圖象;五解集：根據圖象寫出不等式的解集;規律：當二次項系數為正時，小于取中間，大于取兩邊才能正確解答此題．