Question

 如圖所示，正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，M、N分別是A₁B₁，B₁C₁的中點.問：
（1）AM和CN是否是異面直線？說明理由；
（2）D₁B和CC₁是否是異面直線？說明理由.

Answer 1

（1）不是異面直線（2）D₁B與CC₁是異面直線

 （1）不是異面直線.理由如下：
∵M、N分別是A₁B₁、B₁C₁的中點.
∴MN∥A₁C₁，
又∵A₁A  D₁D，而D₁D  C₁C，∴A₁A    C₁C，∴四邊形A₁ACC₁為平行四邊形.
∴A₁C₁∥AC，得到MN∥AC，
∴A、M、N、C在同一個平面內，
故AM和CN不是異面直線.
（2）是異面直線，證明如下：
假設D₁B與CC₁在同一個平面D₁CC₁內，
則B∈平面CC₁D₁，C∈平面CC₁D₁.
∴BC平面CC₁D₁，
這與正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中BC⊥面CC₁D₁相矛盾.
∴假設不成立，故D₁B與CC₁是異面直線.