Question

△ABC是正三角形,線段EA和DC都垂直于平面ABC.設EA=AB=2a,DC=a,且F為BE的中點,如圖.

(1)求證:DF∥平面ABC;
(2)求證:AF⊥BD;
(3)求平面BDF與平面ABC所成二面角的大小.

Answer 1

  (1)證明:如圖所示,取AB中點G,連結CG、FG.

∵EF=FB,AG=GB,
∴FG.
又DC,∴FGDC.
∴四邊形CDFG為平行四邊形,
故DF∥CG.
∵平面ABC,平面ABC,
∴DF∥平面ABC.
(2)證明:∵EA⊥平面ABC,
∴EA⊥CG.
又△ABC是正三角形，
∴CG⊥AB.
∴CG⊥平面AEB.
∴CG⊥AF.
又∵DF∥CG,∴DF⊥AF.
又AE=AB,F為BE中點,
∴AF⊥BE.又BE∩DF=F,
∴AF⊥平面BDE.
∴AF⊥BD.
(3)解:延長ED交AC延長線于G′,連結BG′.
由,CD∥AE知D為EG′中點,
∴FD∥BG′.
由CG⊥平面ABE,FD∥CG,
∴BG′⊥平面ABE.
∴∠EBA為所求二面角的平面角.
在等腰直角三角形AEB中,易求∠ABE="45°."

空間直線和平面