Question

已知橢圓：的左、右焦點分別為，它的一條準線為，過點的直線與橢圓交于、兩點.當與軸垂直時，.
（1）求橢圓的方程；
（2）若，求的內切圓面積最大時正實數的值.

Answer 1

（1）；（2）.

本試題主要是考查了橢圓的方程的求解以及，三角形的中內切圓的性質的運用，結合向量工具表示面積。
解：（1）當與軸垂直時，　
得 得 即---------------------（2分）
又 解得，，
故所求橢圓的方程為.----------------------------------（2分）
（2）由點，，可設，
① 當與軸垂直時，
依（其中為的內切圓半徑）
即　　
得  ，此時可知------------------------------------（2分）
②當與軸不垂直時，
不妨設直線的方程為
代入　得

則　---------------（2分）
從而可得　
又點到直線的距離.
依（其中為的內切圓半徑）
即　　-------------------------------------------（2分）
得＝
＝
知在區間上該函數單調遞增，
故當時，即直線的斜率不存在時，最大為，亦即的內切圓面積最大.
此時可知綜上所求為.----------------------2分