Question

已知橢圓：（），直線為圓：的一條切線并且過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，記橢圓的離心率為．
（1）求橢圓的離心率的取值范圍；
（2）若直線的傾斜角為，求的大小；
（3）是否存在這樣的，使得原點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰好在橢圓上．若存在，求出的大小；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）．      （2）    ．（3）離心率不存在．             

(1)依題意得右焦點(diǎn)在圓上或在圓的外部，因此．根據(jù)橢圓中的關(guān)系可求得離心率的取值范圍；
（2）先求出直線的方程，利用圓心到直線的距離等于圓的半徑，得.根據(jù)橢圓中的關(guān)系可求得離心率；
（3）設(shè)原點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，因?yàn)樵�點(diǎn)到直線的距離為，原點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為，則到原點(diǎn)的距離為，到焦點(diǎn)的距離為．所以 解得，代入橢圓方程可得，易得.與（1）中矛盾，所以不存在.
（1）由題意可知，右焦點(diǎn)在圓上或在圓的外部，因此．
∴，即，也即，解之可得．                    ……2分
（2）依題意，設(shè)直線：，由與圓相切得
，即，
∴，解得．                        ……7分
（3）設(shè)原點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，則到原點(diǎn)的距離為，到焦點(diǎn)的距離為．
由              ……9分
解得，代入橢圓方程可得，易得
這與矛盾，故離心率不存在．                                  ……12分