Question

已知直線l：mx-y+1-m=0與圓C：x²+（y-1）²=5交于A、B兩點；
（Ⅰ）若|AB|=

17

，求直線l的傾斜角；
（Ⅱ）求弦AB的中點M的軌跡方程；
（Ⅲ）圓C上是否存在一點P使得△ABP為等邊三角形？若存在，求出P點坐標；不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用|AB|=

17

，圓心到直線的距離，半徑滿足勾股定理，求出m的值，即可求直線l的傾斜角；
（Ⅱ）設出動點坐標，利用垂直關系，數量積為0，直接求弦AB的中點M的軌跡方程；
（Ⅲ）通過由△ABP是等邊三角形，其外接圓與內切圓的圓心相同，通過外接圓半徑，內切圓半徑r等于圓心到直線AB的距離，推出r=

R

2

，方程無解，則不存在否則存在．

解答：解：（Ⅰ）圓心C（0，1）到直線的距離d=

|m|

1+m2

，
所以|AB|=2

R2-d2

=2

5- m2 1+m2

=

17

，解得m=±

3

，
所以，傾角α=

π

3

或

2π

3

；…（4分）
（Ⅱ）直線l過定點N（1，1），設動點M（x，y），則

CM

⊥

NM

，
所以（x，y-1）•（x-1，y-1）=0，化簡得(x-

1

2

)2+(y-1)2=

1

4

；…（9分）
（Ⅲ）不存在．假設存在符合條件的P點，則由△ABP是等邊三角形知，
其外接圓與內切圓的圓心均C（0，1），外接圓半徑R=

5

，
內切圓半徑r等于圓心（0，1）到直線AB的距離d=

|m|

1+m2

，
又由等邊三角形的性質得r=

R

2

，所以有

|m|

1+m2

=

5

2

，⇒

m2

1+m2

=

5

4

，m無解，故不存在這樣的點P．…（13分）

點評：本題考查軌跡方程分求法，點到直線的距離公式的應用，直線的傾斜角的求法，考查計算能力，轉化思想．