Question

選修4-5：不等式證明選講
已知對于任意非零實數m，不等式|2m-1|+|1-m|≥m（|x-1|-|2x+3|）恒成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

分析：對于任意非零實數m，不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|（|x-1|-|2x+3|）恒成立，等價于|x-1|-|2x+3|≤

|2m-1|+|1-m|

|m|

恒成立，根據絕對值不等式可得到右邊大于等于1，即可得到|x-1|-|2x+3|≤1，分類討論去絕對值號即可求得x的取值范圍．

解答：解：對于任意非零實數m，不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|（|x-1|-|2x+3|）恒成立，等價于|x-1|-|2x+3|≤

|2m-1|+|1-m|

|m|

恒成立
因為

|2m-1|+|1-m|

|m|

≥

|2m-1+1-m|

|m|

=1
所以只需|x-1|-|2x+3|≤1
①當x≤-

3

2

時，原式1-x+2x+3≤1，即x≤-3，所以x≤-3；
②當-

3

2

＜x＜1時，原式1-x-2x-3≤1，即x≥-1，所以-1≤x＜1
③當x≥1時，原式x-1-2x-3≤1，即x≥-5，所以x≥1．
綜上x的取值范圍為（-∞，-3]∪[-1，+∞）．

點評：本題考查恒成立問題，考查絕對值不等式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．