Question

已知直線：．若存在實數使得一條曲線與直線有兩個不同的交點，且以這兩個交點為端點的線段長度恰好等于，則稱此曲線為直線的“絕對曲線”．下面給出四條曲線方程：①；②；③；④；則其中直線的“絕對曲線”有         （       ）

A．①④

B．②③

C．②④

D．②③④

Answer 1

D

解析試題分析：由題意直線表示斜率為且過定點（1,1）的直線.(1)曲線①是由左右兩支射線構成：時，是斜率為2且過點（1,0）的射線；時，是斜率為-2且過點（1,0）的射線.作圖可知：當，直線僅與曲線①右支射線有一個交點；當時，直線與曲線①無交點；當時，直線僅與曲線①左支射線有一個交點.所以直線與曲線①最多只有一個交點，不符題意，故曲線①不是直線的“絕對曲線”.(2)因為定點（1，1）在曲線②上，所以直線與曲線②恒有交點，設曲線②與直線的兩交點為、，易知 ，聯立直線與曲線②方程，化簡得：.
，.,從而可知當且僅當時直線與曲線②僅一個交點.兩邊平方，化簡得：.設，則，，且是連續(xù)函數，所以在（0,2）上有零點，即方程在（0,2）上有根，且在（0,2）上曲線②與直線有兩個不同的交點.故存在實數使得曲線②與直線兩個不同交點為端點的線段長度恰好等于，故曲線②是直線的“絕對曲線”.(3)曲線③表示圓心在（1,1）且半徑為1的圓,它與直線兩個交點為端點的線段長度恒為2，為2或-2時滿足題意，故曲線③是直線的“絕對曲線”.(4)因為定點（1，1）在曲線④上，所以直線與曲線④恒有交點，設曲線④與直線的兩交點為、，易知 ，聯立直線與曲線④方程，化簡得：,
,,從而可知當且僅當時直線與曲線④僅一個交點.兩邊平方，化簡得：.,，,且是連續(xù)函數，所以在上有零點，即方程在上有根，且在上曲線④與直線有兩個不同的交點.故存在實數使得曲線④與直線兩個交點為端點的線段長度恰好等于，故曲線④是直線的“絕對曲線”.
考點：曲線與直線的方程、函數的零點