Question

【題目】如圖，已知圓O：x2＋y2＝1和定點A(2，1)，由圓O外一點P(a，b)向圓O引切線PQ，切點為Q，且有|PQ|＝|PA|.

(1)求a，b間的關系；

(2)求|PQ|的最小值；

(3)以P為圓心作圓，使它與圓O有公共點，試在其中求出半徑最小的圓的方程．

Answer 1

【答案】（1）2a＋b－3＝0（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）由勾股定理可得 PQ2=OP2﹣OQ2=PA2，即 （a2+b2）﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2，化簡可得a，b間滿足的等量關系．

（2）由于 PQ==，利用二次函數的性質求出它的最小值．

（3）設⊙P 的半徑為R，可得|R﹣1|≤PO≤R+1．利用二次函數的性質求得OP=的最小值為，此時，求得b=﹣2a+3=，R取得最小值為﹣1，從而得到圓的標準方程．

解：（1）連接OQ，∵切點為Q，PQ⊥OQ，由勾股定理可得 PQ2=OP2﹣OQ2．

由已知PQ=PA，可得 PQ2=PA2，即 （a2+b2）﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2．

化簡可得 2a+b﹣3=0．

（2）∵PQ====，

故當a=時，線段PQ取得最小值為．

（3）若以P為圓心所作的⊙P 的半徑為R，由于⊙O的半徑為1，∴|R﹣1|≤PO≤R+1．

而OP===，故當a=時，PO取得最小值為，

此時，b=﹣2a+3=，R取得最小值為﹣1．

故半徑最小時⊙P 的方程為+=．