Question

【題目】如圖，圓內接四邊形ABCD中，BD是圓的直徑，AB=AC，延長AD與BC的延長線相交于點E，作EF⊥BD于F．

（1）證明：EC=EF；
（2）如果DC= BD=3，試求DE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由圓內接四邊形的性質，可求得∠ABC=∠CDE；

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵∠ACB=∠ADB=∠EDF，

∴∠CDE=∠EDF，

∵BD是圓的直徑，

∴BC⊥DC，

∵EF⊥BD，DE=DE，

∴△DEF≌△DEC，

∴EC=EF

（2）解：∵DC= BD=3，BC⊥DC，

∴∠BDC=60°，

∴∠BAC=60°，

∴∠ABC=60°，

∴∠EDC=60°，

∴∠BDC=∠EDC，

∵DC⊥BC，

∴DE=BD=6．

【解析】（1）通過證明△DEF≌△DEC，即可證明：EC=EF；（2）如果DC= BD=3，證明∠BDC=∠EDC，利用等腰三角形的性質求DE的長．