Question

 設函數，且，其中是自然對數的底數.

（1）求與的關系；

（2）若在其定義域內為單調函數，求的取值范圍；

（3）設，若在上至少存在一點，使得＞成立，求實數的取值范圍.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）由題意得   …………1分

                               

而，所以、的關系為              …………3分

（2）由（1）知，

                       …………4分

   令，要使在其定義域內是單調函數，只需在內滿足：恒成立.        …………5分

①當時，，因為＞，所以＜0，＜0，

  ∴在內是單調遞減函數，即適合題意；…………6分

②當＞0時，，其圖像為開口向上的拋物線，對稱軸為，∴，只需，即，

∴在內為單調遞增函數，故適合題意.   …………7分

③當＜0時，，其圖像為開口向下的拋物線，對稱軸為，只要，即時，在恒成立，故＜0適合題意.                     

綜上所述，的取值范圍為.       ……………………9分

（3）∵在上是減函數，

 ∴時，；時，，即，…10分

①當時，由（2）知在上遞減＜2，不合題意；…………11分  

②當0＜＜1時，由，

又由（2）知當時，在上是增函數，

 ∴＜，不合題意；……………12分                                             

③當時，由（2）知在上是增函數，＜2，又在上是減函數，

故只需＞，   ，而，，

即＞2，      解得＞ ，

綜上，的取值范圍是.                  ……………………14分