Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四邊形ACFE為矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面ACFE；
（Ⅱ）點M在線段EF上運動，設平面MAB與平面FCB所成二面角的平面角為θ（θ≤90°），試求cosθ的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（I）證明：在梯形ABCD中，
∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，
∴AB=2
∴AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcos60°=3
∴AB2=AC2+BC2
∴BC⊥AC
∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC平面ABCD
∴BC⊥平面ACFE
（II）由（I）可建立分別以直線CA，CB，CF為x軸，y軸，z軸的如圖所示空間直角坐標系，
令 ，則 ，B（0，1，0），M（λ，0，1）
∴
設 為平面MAB的一個法向量，
由 得
取x=1，則 ，
∵ 是平面FCB的一個法向量
∴
∵ ∴當λ=0時，cosθ有最小值 ，
當 時，cosθ有最大值 ．
∴ ．

【解析】（I）證明線面垂直可以利用面面垂直進行證明，即若兩個平面垂直并且其中一個平面內的一條直線a與兩個平面的交線操作時則直線a與另一個平面垂直，即可證明線面垂直．（II）建立空間坐標系，根據坐標表示出兩個平面的法向量，結合向量的有關運算求出二面角的余弦的表達式，再利用函數的有關知識求出余弦的范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關知識，掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．