Question

命題P：函數f（x）=log_ax在（0，+∞）上是增函數；命題Q：?x∈R，使得x²-4x+A=0．
（1）若命題“P且P”為真，求實數a的取值范圍；
（2）若命題“P或Q”為真，“P且Q”為假，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：（1）先根據對數函數的單調性，以及一元二次方程有解時判別式△的取值情況求出命題P，Q下a的取值范圍，由P且Q為真知P真Q真，所以求出前面求得的a的范圍的交集即可；
（2）根據命題“P或Q”為真，“P且Q”為假得到P真Q假，或P假Q真，所以求出這兩種情況下a的取值范圍再求并集即可．

解答： 解：（1）命題P為真時，a＞1；
命題Q為真時，方程x²-4x+a=0有解，∴△=16-4a≥0，a≤4；
∴若命題“P且Q”為真，則：P，Q都為真；
∴1＜a≤4；
∴實數a的取值范圍為（1，4]；
（2）若命題“P或Q”為真，“P且Q”為假，則P，Q一真一假；
∴

a＞1 a＞4

，或

0＜a＜1 a≤4

；
∴a＞4，或0＜a＜1；
∴實數a的取值范圍為（0，1）∪（4，+∞）．

點評：考查對數函數的單調性，一元二次方程有解時判別式△的取值情況，以及P或Q，P且Q的真假和P，Q真假的關系．