Question

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過且與軸垂直的弦長(zhǎng)為3.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過作直線與橢圓交于兩點(diǎn)，問：在軸上是否存在點(diǎn)，使為定值，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：

(1)由題意計(jì)算可得.則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(2)假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，設(shè)其坐標(biāo)為，設(shè)， ，分類討論：

當(dāng)斜率存在時(shí)，聯(lián)立直線方程與橢圓方程有： ， .則.滿足題意時(shí)有： .解得.此時(shí).驗(yàn)證可得當(dāng)斜率不存在時(shí)也滿足，

則存在滿足條件的點(diǎn)，其坐標(biāo)為.此時(shí)的值為.

試題解析：

（1）由題意知， .

又當(dāng)時(shí)， .

∴.

則.

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，

設(shè)其坐標(biāo)為，設(shè)， ，

當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，

聯(lián)立 ， 恒成立.

∴， .

∴， .

∴

.

當(dāng)為定值時(shí)， .

∴.

此時(shí).

當(dāng)斜率不存在時(shí)，

， ， .

， ，

.

∴存在滿足條件的點(diǎn)，其坐標(biāo)為.

此時(shí)的值為.