【題目】已知函數
，其中
是自然對數的底數.
（1）證明：當
時， 
；
（2）設
為整數，函數
有兩個零點，求
的最小值.
【答案】（1）見解析；（2）1
【解析】試題分析：（1）要證明不等式成立，構造設
，求導，利用單調性即可證明，從而證明整個不等式組（2）結合（1）問結論得當
時無零點，當
時，利用導數求得其單調性當
時， 
， 
單調遞減，當
時， 
， 
單調遞增，然后求得
，從而得到兩個零點
解析：（1）證明：設
，則
，令
，得
當
時， 
， 
單調遞減
當
時， 
， 
單調遞增
∴
，當且僅當
時取等號，∴ 對任意
， 
∴當
時， 
，∴當
時， 
∴當
時， 
（2）函數
的定義域為
當
時，由（Ⅰ）知， 
，故
無零點
當
時， 
， 
∵
， 
，且
為
上的增函數
∴
有唯一的零點
，當
時， 
， 
單調遞減
當
時， 
， 
單調遞增
∴
的最小值為
由
為
的零點知， 
，于是
∴
的最小值
，由
知， 
，即
又
， 
∴
在
上有一個零點，在
上有一個零點
∴
有兩個零點，綜上所述， 
的最小值為1.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】隨著資本市場的強勢進入，互聯網共享單車“忽如一夜春風來”，遍布了一二線城市的大街小巷.為了解共享單車在
市的使用情況，某調查機構借助網絡進行了問卷調查，并從參與調查的網友中抽取了200人進行抽樣分析，得到表格：（單位：人）
經常使用 | 偶爾或不用 | 合計 | |
30歲及以下 | 70 | 30 | 100 |
30歲以上 | 60 | 40 | 100 |
合計 | 130 | 70 | 200 |
（1）根據以上數據，能否在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下認為
市使用共享單車情況與年齡有關？
（2）現從所抽取的30歲以上的網友中利用分層抽樣的方法再抽取5人.
（i）分別求這5人中經常使用、偶爾或不用共享單車的人數；
（ii）從這5人中，再隨機選出2人贈送一件禮品，求選出的2人中至少有1人經常使用共享單車的概率.
參考公式： 
，其中
.
參考數據：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| 2.072 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】中國古代數學名著《九章算術》中有這樣一個問題:今有牛、馬、羊食人苗，苗主責之粟五斗，羊主曰:“我羊食半馬.”馬主曰:“我馬食半牛.”今欲衰償之，問各出幾何？此問題的譯文是:今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟.羊主人說:“我羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人說:“我馬所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例償還，他們各應償還多少？已知牛、馬、羊的主人各應償還
升， 
升， 
升，1斗為10升，則下列判斷正確的是( )
A. 
， 
， 
依次成公比為2的等比數列，且
B. 
， 
， 
依次成公比為2的等比數列，且
C. 
， 
， 
依次成公比為
的等比數列，且
D. 
， 
， 
依次成公比為
的等比數列，且
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某石化集團獲得了某地深海油田區塊的開采權，集團在該地區隨機初步勘探了部分幾口井，取得了地質資料.進入全面勘探時期后，集團按網絡點來布置井位進行全面勘探，由于勘探一口井的費用很高，如果新設計的井位與原有井位重合或接近，便利用舊井的地質資料，不必打這口新井，以節約勘探費用，勘探初期數據資料見如表：
（參考公式和計算結果：
， 
， 
， 
）
（1）1~6號舊井位置線性分布，借助前5組數據求得回歸直線方程為
，求
的值，并估計
的預報值.
（2）現準備勘探新井
，若通過1，3，5，7號并計算出的
， 
的值（
， 
精確到0.01）相比于（1）中的
， 
，值之差不超過10%，則使用位置最接近的已有舊井
，否則在新位置打開，請判斷可否使用舊井？
（3）設出油量與勘探深度的比值
不低于20的勘探井稱為優質井，那么在原有6口井中任意勘探4口井，求勘探優質井數
的分布列與數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】小明設置的手機開機密碼若連續3次輸入錯誤，則手機被鎖定，5分鐘后，方可重新輸入．
某日，小明忘記了開機密碼，但可以確定正確的密碼是他常用的4個密碼之一，于是，他
決定逐個（不重復）進行嘗試．
（1）求手機被鎖定的概率；
（2）設第
次輸入后能成功開機，求
的分布列和數學期望
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
是雙曲線
的左右焦點，以
為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點
，與雙曲線交于點
，且
均在第一象限，當直線
時，雙曲線的離心率為
，若函數
，則
（）
A. 1 B. 
C. 2 D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知m＞0，p：(x＋2)(x－6)≤0，q：2－m≤x≤2＋m.
(1)若p是q成立的必要不充分條件，求實數m的取值范圍；
(2)若
是
成立的充分不必要條件，求實數m的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的右焦點為
，過
且與
軸垂直的弦長為3.
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）過
作直線
與橢圓交于
兩點，問：在
軸上是否存在點
，使
為定值，若存在，請求出
點坐標，若不存在，請說明理由.
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