Question

【題目】如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）過AC的平面交BD于點E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D–AE–C的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；

(2) .

【解析】

（1）利用題意，證得二面角為，即可得到平面ACD⊥平面ABC；

（2）建立適當的空間直角坐標系，求得兩個半平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值。

（1）由題意可得，,從而，

又是直角三角形，所以，

取AC的中點O，連接DO，BO，則，

又由是正三角形，所以，

所以是二面角的平面角,

在直角中，，

又，所以，故 ，

所以平面平面。

（2）由題設及（1）可知,,兩兩垂直，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則

由題設知，四面體的體積為四面體的體積的，從而到平面的距離為到平面的距離的，即為的中點，得 .

故,

設是平面的法向量，則，即，

令，則，即平面的一個法向量，

設是平面的法向量，則，

可得平面的一個法向量，

則，即二面角的余弦值為。