Question

【題目】△ABC中，角A，B，C所對邊分別是a、b、c，且cosA= ．
（1）求sin2 +cos2A的值；
（2）若a= ，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：sin2 +cos2A=sin2 +2cos2A﹣1

=cos2 +2cos2A﹣1= +2cos2A﹣1

= +2× ﹣1=﹣ ；

（2）解：cosA= ，可得sinA= = ，

由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣ bc

≥2bc﹣﹣ bc= bc，

即有bc≤ a2= ，當且僅當b=c= ，取得等號．

則△ABC面積為 bcsinA≤ × × = ．

即有b=c= 時，△ABC的面積取得最大值 ．

【解析】（1）利用誘導公式及二倍角的余弦公式對式子化簡，代入即可得到所求值；（2）運用余弦定理和面積公式，結合基本不等式，即可得到最大值．