Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若函數(shù)在其定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若，令（為自然對數(shù)的底數(shù)），求證：存在，使．

請考生在第22、23兩題中任選一題作答.注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做的第一個題目計分.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）函數(shù)的定義域為，，

顯然，當(dāng)時，，函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增．（2分）

當(dāng)時，令，得，要使函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)，需滿足，解得．

綜上，實數(shù)的取值范圍是．（4分）

（2），，

令，則，

令，則，

∵，∴，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，（7分）

∵，∴，即，∴在上單調(diào)遞減，

∴當(dāng)時，，

又，，

∴存在，使得當(dāng)時，；當(dāng)時，，

即存在，使得當(dāng)時，；當(dāng)時，，

∴函數(shù)在上先增后減，（10分）

∴存在，使，

故存在，使．（12分）