Question

【題目】某公園準備在一圓形水池里設置兩個觀景噴泉，觀景噴泉的示意圖如圖所示，A，B兩點為噴泉，圓心O為AB的中點，其中OA=OB=a米，半徑OC=10米，市民可位于水池邊緣任意一點C處觀賞．

（1）若當∠OBC= 時，sin∠BCO= ，求此時a的值；
（2）設y=CA2+CB2 ， 且CA2+CB2≤232．
（i）試將y表示為a的函數，并求出a的取值范圍；
（ii）若同時要求市民在水池邊緣任意一點C處觀賞噴泉時，觀賞角度∠ACB的最大值不小于 ，試求A，B兩處噴泉間距離的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△OBC中，由正弦定理得， ，

易得

（2）解：（i）易知AC2=100+a2﹣20acos∠AOC，BC2=100+a2﹣20acos∠BOC，

故CA2+CB2=200+2a2，

又因為CA2+CB2≤232，即200+2a2≤232，解得0＜a≤4，

即y=200+2a2，a∈（0，4]；

（ii）當觀賞角度∠ACB的最大時，cos∠ACB取得最小值，由余弦定理可得 ，

即

由題意可知 ，解此不等式得 ，

經驗證， ，即

【解析】（1）當∠OBC= 時，sin∠BCO= ，由正弦定理求此時a的值；（2）（i）利用余弦定理，結合CA2+CB2≤232，即200+2a2≤232，可將y表示為a的函數，并求出a的取值范圍；（ii）當觀賞角度∠ACB的最大時，cos∠ACB取得最小值，由余弦定理可得結論．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用正弦定理的定義和余弦定理的定義的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握正弦定理:；余弦定理:;;．