Question

已知函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R都有f（x）+f（x+6）=0成立．若y=f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，且f（7）=4，則f（2015）=

 

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Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的周期性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)的周期定義得出f（x）的周期為12，y=f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，f（-x）=-f（x），
利用周期得出f（2015）=f（-1）=f（7）即可．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R都有f（x）+f（x+6）=0成立，
∴f（x）=f（12+x），
∴f（x）的周期為12，
∵y=f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，
∴f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，
∴f（-x）=-f（x），
∵f（2015）=f（-1），
∵f（7）=4，
∴f（-1）=f（7）=4
故答案為：4

點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用周期性，對(duì)稱性求解函數(shù)值，屬于中檔題，關(guān)鍵是恒等變形．