Question

已知等軸雙曲線的頂點在x軸上，兩頂點間的距離是4，右焦點為F．
（1）求雙曲線的標準方程和漸近線方程；
（2）橢圓E的中心在原點O，右頂點與F點重合，上述雙曲線中斜率大于0的漸近線交橢圓于A，B兩點（A在第一象限），若AB⊥AF，試求橢圓E的離心率．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質,橢圓的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設出雙曲線方程，由題意可得a=2，即可得到雙曲線方程和漸近線方程；
（2）設出橢圓方程，由題意可得a═2

2

，再由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，解方程可得b，由橢圓的a，b，c的關系可得c，再由離心率公式即可得到．

解答： 解：（1）設雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

a2

=1（a＞0），
則2a=4，解得a=2，
∴雙曲線的方程為

x2

4

-

y2

4

=1，漸近線方程為y=±x．
（2）設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由（1）知F（2

2

，0），于是a=2

2

．
設A（x₀，y₀），則x₀=y₀．①
∵AB⊥AF，且AB的斜率為1，
∴AF的斜率為-1，故

y0

x0-2 2

=-1．②
由①②解得A（

2

，

2

）．
代入橢圓方程有

2

(2 2 )2

+

2

b2

=1，解得b²=

8

3

，
∴c²=a²-b²=8-

8

3

=

16

3

，得c=

4 3

3

，
∴橢圓E的離心率為e=

c

a

=

4 3 3

2 2

=

6

3

．

點評：本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質，考查雙曲線的漸近線方程和橢圓的離心率的求法，考查兩直線垂直的條件，考查運算能力，屬于基礎題．