Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1=AC=2BC，∠ACB=90°．

（Ⅰ）求證：AC1⊥A1B；

（Ⅱ）求直線AB與平面A1BC所成角的正切值．

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】分析：（1）先證平面，得到，由四邊形為正方形得出，所以平面，進而證得；

（2）由平面可得是直線與平面所成的角，設，利用勾股定理求出，即可得出的值.

詳解：證明（Ⅰ）∵CC1⊥平面ABC，BC平面ABC，

∴CC1⊥BC

又∠ACB=90°，即BC⊥AC，又AC∩CC1=C，

∴BC⊥平面A1C1CA，又AC1平面A1C1CA，

∴AC1⊥BC．

∵AA1=AC，∴四邊形A1C1CA為正方形，

∴AC1⊥A1C，又AC1∩BC=C，

∴AC1⊥平面A1BC，又A1B平面A1BC，

∴AC1⊥A1B．

（Ⅱ）設AC1∩A1C=O，連接BO．

由（Ⅰ）得AC1⊥平面A1BC，

∴∠ABO是直線AB與平面A1BC所成的角．

設BC=a，則AA1=AC=2a，

∴ ， ，

在Rt△ABO中， ，

∴直線AB與平面A1BC所成角的正切值為 ．