Question

已知函數f（x）=sin2x+

3

cos2x（x∈R） 
（Ⅰ）求f（x）的單調增區間；
（Ⅱ）若f（

α

2

-

π

6

）=

6

5

，α∈（

π

2

，π），求tan（α-

π

4

）的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,正弦函數的單調性

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（I）利用兩角和差的正弦公式、正弦函數的單調性即可得出；
（II）利用（I）可得2sinα=

6

5

，再利用同角三角函數基本關系式、兩角和差的正切公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ） f（x）=sin2x+

3

cos2x
=2(

1

2

sin2x+

3

2

cos2x)
=2sin(2x+

π

3

)．
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，解得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

（k∈Z）．
∴f（x）的單調增區間是[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）．
（Ⅱ）∵f（

α

2

-

π

6

）=

6

5

，
∴2sinα=

6

5

，
∴sinα=

3

5

，而α∈（

π

2

，π），
∴cosα=-

4

5

，tanα=-

3

4

．
∴tan（α-

π

4

）=

tanα-1

1+tanα

=

- 3 4 -1

1- 3 4

=-7．

點評：本題考查了兩角和差的正弦公式、正弦函數的單調性、同角三角函數基本關系式、兩角和差的正切公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．